怎样用高斯消去法解线性方程组

操作方法

高斯消元法

我们对线性方程组可以做如下的三种变换：

（1）将一个非零常数

（2）将一个方程的若干倍加到另一个方程上；

（3）交换两个方程的位置。

我们将线性方程组的这三种变换称之为线性方程组的初等变换。对方程组做初等变换得到的新的线性方程组与原来的线性方程组是同解的。易知，对线性方程组做初等行变换等价于对增广矩阵做相应的初等行变换。

注：由于齐次线性方程组的常数项恒为零，我们在对其做初等变换时只需对它的系数矩阵做相应的初等行变换。

高斯消元法

我们对线性方程组做初等变换的目的是为了将其化为与之同解的如下形式的线性方程组：

在该方程组中，每一个方程都至少比上一个方程少一个未知量，这种方程称为阶梯型方程。在阶梯型方程组中，每一行的第一个未知量称为主元，其余的未知量称为自由变量。阶梯型方程组的解是比较容易求得的。

利用高斯消元法求解线性方程组就等价于利用初等行变换将线性方程组的增广矩阵化为阶梯型矩阵。再将最后的增广矩阵还原为线性方程组同样可以求出原方程组的解。不难看出该求解过程更为简洁。

用顺序高斯消去法解线性方程组

用高斯消元法解决线性系统问题

高斯法解决线性方程组

对任何线性方程组进行三种操作可得到一个等价的方程组:

1. 将任意两个方程交换

2. 将系统中任何方程的所有项乘以任何不等于零的数

3. 将任意两个方程相加/相减(左右同时)

矩阵行的运算

• 交换两行
• 将一行的倍数添加到另一行
• 将一行乘以一个非零常数

从上面可以看出方程组的变换与矩阵的行变换是一致的，因此可以用矩阵变换解方程组。

行阶梯形矩阵遵循以下规则:

• 如果一行不都是零，那么第一个非零数字，称为主元。
• 对于连续两个以1开头的行，下面一行的1在上面一行的1的右边。
• 任何只有0的行都位于矩阵的底部

阶梯矩阵形式:

最简形的阶梯矩阵:

.

通过将系统的增广矩阵改写为行阶梯形来求解下列线性方程组

解：

系统的增广矩阵如下：

步骤1:在第一列中使用行操作使其生成一个主元1，但本例已有，不用这一步了。

将第(2)行加第（1）行乘-2行，在第(3)行加第（1）行乘-5。

步骤2:在第2列中使用行操作或它们的组合生成一个1(如果没有的话)，本例已有。

将- 1乘以行(2)加到行(3)

上面的矩阵是行阶梯形。相应的线性系统为：

可以将z带回上一个方程得出y, 然后求出z。

最后得出解：

前面谈到最简阶梯形矩阵，我们注意到在主元的1上下都是0。求矩阵的最简阶梯形的方法称为高斯法。

我们继续对上面最后一个增广矩阵做行变换。

将第二行加上第三行乘以6：

接着将第一行加上第三行：

最后将第一行减去第二行：

将增广矩阵改写为最简阶梯形的优点是，无需进一步计算就能给出给定方程组的解，如下所示:

总结一下高斯消元法转换为最简形的阶梯矩阵的方法是：

1. 构造一个需要的增广矩阵。
2. 互换行，使第一行是的首位是1，如果没有一般可以将一个合适的放在首行。
3. 将首行的第一列数a去除第一行的全部元素，使首行第一个数变成1.
4. 将首行乘以一个系数消掉首行下面第一列的所有元素，使其它行的首项都是0.
5. 重复3-4步，使得其它非零行的首位是1，直到形成一个阶梯矩阵。
6. 最后利用行运算把所得的阶梯矩阵变成最简阶梯矩阵。

上面的高斯法也可以用来求矩阵A的逆矩阵，其方法就是：

上述式子就是把增广矩阵AlI经过一系列高斯法的行变换，使得AlI变为IlC, C就是A的逆矩阵。关于逆矩阵的另外一种求法请参见 。