有些数学问题表面上看难以求解，但如果我们创造性地运用已知条件，以已知条件为素材，以所求结论为方向，有效地运用数学知识，构造出一种辅助问题及其数学形式，就能使问题在新的形式下获得简解，这就是解题中的“构造”策略.
所谓构造法，就是根据问题的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，有效地运用数学知识，构造出与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而使得问题在新的形式下获解的方法.构造法的本质是创造性地应用数学知识去解决数学问题，它不只是一种解题方法，而且是创造解题方法的方法.
常用的构造方法有：构造方程、构造函数、构造图形、构造反例等.
构造方程就是用已知条件作材料，用所求结论作方向，构造出一个方程，使得问题在利用方程的知识下简捷解决.本文重点谈谈如何构造一元二次方程解决问题，构造一元二次方程的常用方法有：
（1）利用方程的根的定义构造：当已知等式具有相同的结构，就可把某两个变元看成是关于某个字母的一元二次方程的两根．
（2）逆用根与系数的关系（韦达定理）构造：若问题中有形如x y=a，xy=b的关系式时，则x、y可看作方程z²－az b=0的两个实数根．
（3）确定主元构造：对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为关于某个字母的一元二次方程．
【例题求解】
1、利用方程的根的定义构造：
【分析】由m≠n，可得m，n是方程3x² 6x－5=0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系即可求解．
【解析】
【练一练】
【答案】－32.
2、逆用根与系数的关系（韦达定理）构造：
例2、求证：对任意一个矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长和面积的比等于k（k≥1）.
【分析】设已知矩形A的长与宽分别为a，b，所求矩形B的长与宽为x，y，则矩形A的周长是2（a b），面积为ab，矩形B的周长为2（x y），面积为xy，得出方程组，转化成方程后求出△的值，即可得出答案.
【证明】设已知矩形A的长与宽分别为a，b，所求矩形B的长与宽为x，y，则矩形A的周长是2（a b），面积为ab，矩形B的周长为2（x y），面积为xy，则
∴x，y是方程t2-k(a b)t kab=0的两个实数根．
∴当△=[k(a b)]2-4kab≥0，方程有解．
∴对于长与宽分别为a，b的矩形A，
∵(a-b)2≥0，
∴a2 b2≥2ab，a2 b2 2ab≥4ab，
∴(a b)2≥4ab，
∴当k≥1时，所有的矩形都有周长与面积同时扩大k倍的矩形，即对任何矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长和面积比等于同一个常数k(k≥1).
【练一练】
若实数a、b满足a2 ab b2=1，且t=ab-a2-b2，则t的取值范围是 ．
【答案】－3≤t≤-1/3.（提示：首先将两式进行相加再相减，得出a b，ab有关t的关系式，再构造一元二次方程，利用根的判别式大于或等于0进行解决.）
3、确定主元构造：
例3、求方程x2y2 9x2 y2-12xy=9的非负整数解.
【分析】把原方程整理为关于x（或y）（即为主元）的一元二次方程，再由△≥0入手求解.
【解析】
原方程可化为关于x的一元二次方程：
(y² 9)x²-12yx (y²-9)=0，
∵方程有整数解，
∴△=(-12y)²-4(y² 9)(y²-9)≥0，
即y4-36y2-81≤0，
∴(y²-18)²≤81 324＜21²，
∴-21＜y²-18＜21，
∴0≤y²＜39，
∴y=0，1，2，3，4，5，6.
经检验，当y=0时，x=1；当y=3时，x=0或x=2；当y=6时，x=1，符合题意.
∴原方程的非负整数解为(x，y)=(1，0)，(0，3)，(2，3)，(1，6).
【练一练】
若实数a，b满足2 0.5a-ab b²=0，则a的取值范围是 .
【答案】a≤-2或a≥4
