弯曲内力
4.1 复习笔记
弯曲是杆件的基本变形之一，是由垂直于杆件轴线的外力引起的，表现为原为直线的轴线变形成为曲线。其中，对称弯曲是当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线的弯曲形式。
一、受弯杆件的简化
1支座的基本形式
（1）固定铰支座
限制支承的横截面沿水平和垂直方向移动，相应的支座反力如图4-1-1所示。
图4-1-1
（2）可动铰支座
使杆件沿支承面方向移动亦可绕支承点转动，相应的支座反力如图4-1-2所示。
图4-1-2
（3）固定端
限制被支承的横截面沿水平和垂直方向移动和绕某一轴转动，相应的固定端的支反力如图4-1-3所示。
图4-1-3
2载荷的简化
（1）集中载荷
载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。
（2）分布载荷
沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用q表示单位长度上的载荷，称为载荷集度，如风力、水力、重力。常用的有均布载荷，线性分布载荷。
（3）集中力偶
3静定梁的基本形式
为方便梁的求解，通常将梁简化，以便得到计算简图。当梁上支反力数目与静力平衡方程式的数目相同时，即支反力通过静力平衡方程即可完全确定时，称之为静定梁，以下三种形式的梁均为静定梁。
（1）简支梁
一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图4-1-4所示。
图4-1-4
（2）外伸梁
一端或两端向外伸出的简支梁，如图4-1-5所示。
图4-1-5
（3）悬臂梁
一端固定支座一端自由，如图4-1-6所示。
图4-1-6
二、剪力和弯矩
1剪力
剪力是指抵抗剪切作用的内力，是与横截面相切的分布内力系的合力。
符号规定：左侧相对于右侧有向上错动的趋势，或有顺时针转动的趋势，则剪力为正；反之，剪力为负。左侧梁段向上的外力引起剪力为正，右侧梁段向下的外力引起的剪力为正；反之为负。
对于平面曲杆（轴线为平面曲线，且荷载作用于纵向对称面内），规定：以剪力对所考虑一段曲杆内任一点取矩，若力矩为顺时针，则剪力为正。
2弯矩
弯矩是指抵抗弯曲作用的力矩，是垂直于横截面的分布内力系的合力偶之矩。
符号规定：外力对截面形心的力矩使梁下凸上凹，弯矩为正；反之，弯矩为负。左侧梁段外力引起的顺时针弯矩为正，右侧梁段外力引起的逆时针弯矩为正；反之为负。
对于平面曲杆，规定：使轴线曲率增加的弯矩为正。
3剪力方程和弯矩方程
（1）剪力（弯矩）方程：以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置，表示各横截面上的剪力（弯矩）的函数表达式。
（2）方法：①根据梁上外力及其变化情况分段。
分段点：剪力方程的分段点是集中力作用处和分布荷载的开始、结束处。
弯矩方程的分段点是集中力、集中力偶的作用处和分布荷载的开始、结束处。
②在每段上以任意截面x作为代表，求其剪力FS（x）和弯矩M（x）。
三、剪力图和弯矩图的绘制
剪力图（弯矩图）：用平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力（弯矩），这种图线称为剪力图（弯矩图）。
绘制方法：
1列方程作图
作图步骤：①求支座反力；②列内力方程；③根据方程绘制剪力图和弯矩图。
应注意的是：平面刚架的弯矩图应画在受压侧；平面曲杆的弯矩图画在轴线的法向方向，并画在受压侧。
2利用载荷集度、剪力和弯矩间的关系作梁的内力图
（1）载荷集度q（x）、剪力FS（x）和弯矩M（x）间三者之间的微分关系为
（2）利用推论绘制内力图
①若q（x）＝0，则
因此，剪力图为平行于x轴的直线，弯矩图为斜直线，且当剪力为正值时，弯矩表现为单调增；剪力为负值时，弯矩图表现为单调减。
②若q（x）＝常数，则
因此，FS（x）为斜直线，M（x）为抛物线图，且集度q（x）的正负决定着剪力图的单调增或者减，以及弯矩图开口向上或者向下。
③若q＝f（x），则剪力图为抛物线，弯矩图为三次曲线。
④若FS（x）＝0，则
此时该截面上弯矩有极值（极大值或极小值）。此外，弯矩的极值还可能出现在集中力和集中力偶作用处截面。
⑤利用载荷、剪力与弯矩的关系校核所绘制的弯矩图和剪力图。任意两截面上的剪力之差等于相应两截面间载荷图的面积，任意两截面上的弯矩之差等于相应两截面间剪力图的面积。
3外力与内力图的内在联系
（1）斜率规律
剪力图在任一截面处的斜率值等于该截面外力分布载荷的集度值，同理弯矩图在任一截面处的斜率值等于该截面剪力值
（2）凹凸性规律
集度q向下，为负，曲线图开口朝下。
（3）突变规律
在集中力作用的截面，剪力图在该处发生突变，突变高度等于该处集中力的大小；在集中力偶作用的截面，弯矩图在该处发生突变，突变高度等于该处集中力偶矩的大小。
对世界上的一切学问与知识的掌握也并非难事，只要持之以恒地学习，努力掌握规律，达到熟悉的境地，就能融会贯通，运用自如了。——高士其
