杨小远*
（注：作者单位：北京航空航天大学。）
摘要：本文详细介绍了北京航空航天大学工科数学分析课程系列教材《工科数学分析教程》《工科数学分析系列开放式问题讲座》建设的情况，包括教材的内容体系、特色、学生创新能力的培养以及本套教材使用所取得的效果，本套教材为国内微积分教材建设提供了新的思路。
关键词：工科数学分析教材特色配套教材
北京航空航天大学从2003年起开始在计算机学院、自动化学院、电子工程学院、航空科学与工程学院等开设工科数学分析课程。在多年的教学研究与实践的基础上，出版了系列教材：《工科数学分析教程》（上下册）（科学出版社，2010）、《工科数学分析系列开放式问题讲座》（科学出版社，2014，北京市精品教材）。在主教材基础上，出版了习题课配套教材：《数学分析学习巩固与提高》（上下册）（机械工业出版社，2011），各类数学竞赛辅导教材《工科数学分析习题及题解集》（机械工业出版社，2010）。目前课程的教学分为两个层次：一是基础教学部分——工科数学分析，为必修课，总学时200学时；二是提高教学部分——工科数学分析系列开放式讲座，面向全校优秀学生，为选修课，总学时36学时。
（一）将微积分经典内容进行拓展与延伸，力求反映当代数学的发展趋势
本套教材精炼了传统数学分析教材的内容，增加了数学的应用背景，力求为学生打开应用数学的窗口，同时注重数学分析经典内容与现代应用数学分支的联系，以开阔学生的视野。例如在第一章数列极限部分，增加了数列极限的应用实例，如自然界中的混沌现象，这使得学生在掌握极限基本理论的同时，了解了新的数学分支。在函数极限与连续一章，介绍了连续函数压缩映射原理。在此基础上介绍了不动点理论在非线性方程求根中的应用，同时介绍了非线性方程求根的几个基本理论问题：算法的收敛速度和局部与全局收敛问题，以使学生对无穷小阶的运算有全新的认识。Taylor公式是微积分的经典内容，本套教材不是仅仅停留在介绍Taylor公式和其简单应用，而是通过利用Taylor公式与导数数值计算的介绍，阐述了Taylor在科学计算中的应用，并且给出了更一般结论——李查逊外推。同时，介绍了克服Taylor公式局部逼近的Lagrange插值以及误差分析，以及函数的最佳一致逼近问题，让学生对函数数值逼近领域有一个初步的认识，并激发他们进一步深入学习函数逼近的其他内容。在定积分部分，不仅介绍了Riemann可积的达布上和下和定理，而且增加了对Lebesgue定理与Lebesgue积分的介绍，加深了学生对Riemann积分的认识，同时使学生了解了Lebesgue积分研究的意义，实际上Lebesgue积分在各个数学分支的应用成了现代数学的一个特征。在微分方程部分，特别强调了数学建模的思想，让学生学会用数学模型描述实际问题并求解。在介绍了几种经典的求解方法的基础上，增加了微分方程数值求解的基本方法和几个基本理论问题：数值解的收敛性和稳定性。在傅里叶级数部分，在介绍经典傅里叶级数和变换的基础上，分析了傅里叶变换的局限性，并介绍了小波变换和分数阶傅里叶变换基本思想，以及在工程技术领域中的应用，实际上傅立叶变换和小波变换几乎被应用到所有工程应用领域。在多元函数极值问题部分，介绍了约束和非约束非线性优化的基本求解方法，使得学生对数值优化理论这一分支有初步的了解。总之，我们力求在有限的篇幅内，扩展教材的宽度，让学生有更多的发现。但是这些内容不是在理论上任意拔高，将高观点强加给学生，让学生不知所云，而是要遵循学生的认识规律。我们的原则是利用数学分析的知识使学生能够学懂和理解这些问题，重在强调方法和思想。本套教材编排力求让学生从开始学基本知识，从不懂到懂打好基础，然后再逐步将数学问题引向深入，最后达到对数学理解有一定高度的境地。
（二）本套教材设置系列探索类问题：引导学生思考、发现、探索新的数学问题，...
对工科学生而言，所受的数学训练，所领会的数学思想和精神，在未来的工作中无时无刻不在发挥着积极的作用，成为取得研究成功的最重要因素。本套教材努力创造一种环境，使同学身临其境地介入数学的发现或创造过程，鼓励并推动学生解决一些理论或实际的小问题。这些问题没有现成的答案，没有固定的方法，没有指定的参考书，甚至也没有成型的数学问题，主要靠学生独立思考、反复钻研并相互切磋，去形成相应的数学问题，进而分析问题的特点，寻求解决问题的方法。基于上述考虑，本套教材每一章都设置了系列探索类问题，分为基础研究、应用研究和实践类问题，目的是启发并培养学生独立思考和探索问题的能力，本套教材没有选择数学分析中技巧性和难度过高的题目，注重基础性的题目，摆脱数学以做题为主的学习方式，要求学生将精力集中在对数学概念和本质问题的学习上，鼓励学生完成更多的探索类问题，从而体会数学的创造过程。
（三）根据信息化背景下对人才的要求，本套教材力求内容与计算机和信息技术相结合
计算机技术的迅速发展改变了人们思维方式和科学研究方式，极大促进了许多数学分支的迅速发展。因此在教材中我们淡化了函数作图和过于复杂的积分计算等问题，增加了非线性方程数值方法以及基本理论、函数多项式插值逼近问题以及外推算法、数值积分、非线性数值优化初步以及常微分方程数值求解的基本理论问题，这些内容都依赖用计算机来实现算法和进行分析，提高了学生利用计算机解决问题的能力。在不定积分求解部分，我们介绍了计算机符号计算这一交叉学科，同时介绍了MATLAB软件，我们要求学生能够掌握利用MATLAB绘图等功能，这样有助于重积分和曲线与曲面积分计算，加深学生对许多数学问题的理解。
（四）教材的可阅读性强，让学生对数学问题知其然又要知其所以然
数学起源于实际问题，其强大的生命力也在于广泛的应用价值。为此本套教材介绍了微积分在经济、物理、天文等领域的应用实例。例如我们介绍了如何利用向量函数微分学解释著名的Kepler三大定律，让学生体会微积分解决实际问题的强大生命力。数学分析内容十分庞大，可谓“洋洋大观，琳琅满目”，但是最本质核心的内容并不多。例如多元微积分是一元微积分的推广，许多结论和证明方法几乎都是平行的。因此必须让学生掌握微积分本质核心问题，注意许多共性问题的学习，只有抓住精华才能学得精通。例如在数学分析中，以柯西命名的定理很多，如数列极限收敛的柯西定理。函数极限存在的柯西定理，数项级数收敛的柯西定理，函数项级数一致收敛的柯西定理，广义积分收敛柯西定理，含参变量积分一致收敛的柯西定理。面对如此多的柯西定理，学生经常不知所措，教材就是要引导学生把握这些定理的共性问题。教材用同样方法讨论了判断数项级数收敛、函数项级数一致收敛、广义积分收敛、含参变量积分的一致收敛定理的狄里克莱和阿贝尔判别方法的共性问题。数学分析中有几个概念学生理解起来十分困难，例如函数的一致连续、函数项级数的一致收敛、含参积分的一致收敛，教材通过大量几何图形直观解释，同时强调刻画这些概念“一致”性的共同数学特征，以及为什么要引入这些概念，让学生抓住本质问题，使得数学学习起来变得自然，而不是高不可攀。我们力求教材内容丰富、生动和有启发性，而不是罗列知识。
（五）教材增加了许多伟大数学家的学术成就介绍，使得学生对数学有一种仰慕和敬重，有一种向往和热爱
从近代微积分思想的产生和发展到成熟，历经几百年，通过几代数学家坚持不懈的努力，形成了严格的理论和逻辑体系，同时对人类物质文明和精神文明发展起到了重要作用。牛顿、柯西、欧拉、魏尔斯特拉斯、黎曼、拉格朗日、泰勒等伟大数学家都作出了杰出贡献。他们的人格魅力和追求真理献身科学的精神是人类巨大的精神财富，欧拉在失明之后17年，以惊人的毅力，口述完成了几本书和400篇左右的论文。数学家高斯曾说：“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法。”欧拉为了鼓励和培养年轻的拉格朗日，自己的研究成果不发表，而是让拉格朗日将成果发表，从而取得巨大的荣誉并终于获得成功。这些伟大数学家的精神对学生是一种激励也是一种陶冶。因此在教材中，我们增加了对这些数学家学术成就的介绍，让学生学习微积分知识体系同时，更能感受到伟大数学家的思想和境界，使得学生对数学有一种仰慕和敬重，有一种向往和热爱，激发学生献身科学的精神。
《工科数学分析系列开放式问题讲座》教材一共11讲，内容通俗易懂、图文并茂，重在强调思想方法。主要内容如下：
第一讲混沌与极限现象
极限是数学分析的基本思想，数列问题在实际问题中有许多重要应用。本讲介绍了逻辑斯蒂方程，通过研究其极限，引出了混沌现象。通过对混沌现象的介绍，使学生更加真切地体会到大千世界的奇妙，同时也使学生认识到微积分和现代的科学之间的紧密关系。
第二讲函数多项式数值逼近的进一步讨论
Taylor公式是用多项式逼近复杂的函数，具有良好局部逼近性能。本讲主要介绍多项式逼近中一类重要的逼近方法——样条函数插值逼近。通过本章的学习，使得学生对多项式数值逼近的理论方法有更全面的了解。
第三讲连续函数的应用：压缩映射原理
逐次逼近或迭代是求解方程（包括代数方程，微分方程，积分方程和其他方程等）的重要思想，而各种不同类型的方程的逐次逼近法在泛函分析中归结成一个一般的原则，这就是压缩映射原理。我们从连续函数的压缩映射定理出发，让学生对迭代思想有一个初步的理解，在此基础上介绍压缩映射或不动点理论的发展，重点介绍度量空间上的压缩映射原理，也即是著名的Banach不动点定理。
第四讲数学学习和研究的工具Matlab
在工科数学分析的学习过程中，电脑软件也有其独特的优越性。利用电脑进行函数作图，可以将函数的很多性质和特点以非常直观的形式表现出来，这样可以辅助我们对函数进行研究，加深对定义定理的理解，便于积分区域的判断。本讲座以Mathematic这一基于符号计算的数学软件为例，讲解如何将此软件转化为工科数学分析的有力辅助工具。讲座将在基本概念辨析、数学定理证明与理解、函数和函数项级数的一致连续性、多重积分和曲面积分等几方面展开，针对学生在学习本课程中的普遍遇到的重点和难点，结合例子介绍此软件相关命令，阐述软件结果对数学分析问题的作用，展示电脑软件在学习中的重要地位。
第五讲勒贝格积分初步
Riemann可积的充分必要条件是不连续点的集合是零测集，由于Riemann积条件过强，对函数连续性依赖很强，导致在一定程度上限制了Riemann积分的应用范围。1902年法国数学家Lebesgue在他的博士论文《积分、长度与面积》中首次提出了以他的名字命名的积分。Lebesgue积分理论的产生使得关系积分的运算变得简单灵活，在很大程度上克服了Riemann积分的缺陷，而且大大地扩充了可积函数的范围，成为现代分析成为现代分析中不可缺少的理论基础。本讲将介绍测度基本概念和勒贝格积分的基本原理和性质。
第六讲小波变换初步以及应用
作为20世纪80年代中期出现的新的时/频域信号分析工具，小波分析被认为是傅里叶分析发展史上新的里程碑。本讲我们将介绍Harr小波以及应用——信号的多分辨分析。
第七讲非线性数值优化初步
在数学分析课程中，使用拉格朗日乘子法来解决多元函数的条件极值。实际应用中的这些问题，一般难以像我们课本中的习题那样得到解析，因此需要通过数值方法进行求解。本讲主要通过介绍非线性数值优化的基本方法，在向学生展示条件极值问题在实际中有广泛应用的同时，提供进一步解决这些问题的实用方法，更好地引起学生的学习兴趣。
第八讲从三体问题到Smale马蹄
在本讲中，首先介绍庞加莱在三体问题上的工作，引出动力系统中对初值的敏感依赖性这一混沌现象中最重要的性质。在介绍庞加莱的工作当中，引入相图、平衡点、轨道、回复性等动力系统中的基本概念。接着介绍著名的洛仑兹吸引子，也就是广为人知的“蝴蝶效应”的例子。最后我们会介绍“斯梅尔马蹄”，适当证明它的一些简单性质，并对三体问题以及洛仑兹吸引子中混沌现象的产生机理进行适当的解释。
第九讲分形与分形维数
在本讲中，从康托三分集这个例子出发，首先介绍康托三分集的一些性质，如不可数性质，它的勒贝格测度，等等。然后我们会介绍分形维数这一概念，并给出康托三分集的维数。最后简单介绍威尔斯特拉斯给出的连续但处处不可微的函数这一著名例子。
第十讲常微分方程的几个基本问题
本讲介绍常微分方程理论的几个基本问题以及常微分方程数值求解的欧拉方法。
第十一讲曲线与曲面积分的进一步讨论：微分几何初步
微分几何时是利用微积分研究曲线和曲面的数学分支，因为工程领域中物体的运动和机件的形状与曲线和曲面有关，微分几何是有形工程领域必不可少的基础。本讲将介绍微分几何的基础知识和应用，为进一步的学习打下坚实的基础。
在主教材基础上，我们出版了习题课配套教材《数学分析学习巩固与提高》（上下册）（机械工业出版社，2011），参加北京市和全国数学竞赛辅导教材《工科数学分析习题及题解集》（机械工业出版社，2010）。
通过系列教材的使用和教学团队的教学，涌现出许多具有出色研究潜力的学生，他们初步具备了独立思考和分析解决问题的能力。近几年，大学一年级学生就本套教材设置的系列探索类问题在《河南科学》［中国核心期刊（遴选）数据库收录期刊、中国科技核心期刊］以及《高等数学研究》［中国核心期刊（遴选）数据库收录期刊］和《理论数学》（Academic Journals Database收录）上发表研究论文20篇，3篇论文分别获北京航空航天大学“冯如杯”科技竞赛二等和三等奖。近几年有369名学生在北京航空航天大学数学竞赛中获奖，182名学生在北京市数学竞赛中获奖，8名同学在全国数学竞赛总决赛中获奖。
